悉尼科技大学关于集合论的习题可以讲解吗?

集合论(Set Theory)是数学中的一个基本的分支，研究集合的性质关系以及运算。因为集合论的知识太过于抽象，很多留学生听完一个学期的课后还是不理解集合论。面对即将到来的考试，更是不知所措。HighMark专业的考前冲刺服务，有专业对口的老师为大家进行课程知识点梳理，着重复习考试难点，帮助大家突破集合论的考试壁垒!

一、什么是集合论?

集合论是数学逻辑的一个分支，用于研究集合及其属性。集合是一组对象或对象的集合，这些对象通常被称为集合的元素或成员。例如，板球队中的球员组成一个集合。

由于板球队中的球员数量一次可能只有11人，因此我们可以说，这个集合是有限集。另一个有限集的例子是英语元音字母的集合。但也有许多具有无限成员的集合，例如自然数集、整数集、实数集、虚数集等。

二、集合论的起源

德国数学家Georg Cantor(1845-1918)发起了“集合论”或“集合论”概念。在研究“三角级数问题”时，他接触到了集合，这已成为数学中最基本的概念之一。如果不理解集合，将很难解释其他概念，如关系、函数、序列、概率、几何等。

三、集合的定义

正如我们在介绍中已经了解的那样，集合是一组对象或人的明确定义的集合。集合可以与许多现实生活中的例子相关联，例如印度河流的数量，彩虹中的颜色数量等。

例子

为了理解集合，考虑一个实际情景。Nivy在从家去学校的路上，决定记录下路上经过的餐馆的名称。餐馆的列表按它们出现的顺序如下：

上述列表是一组对象。它也是明确定义的。所谓明确定义，意味着任何人都应该能够判断对象是否属于特定集合。例如，文具店不能归入餐馆的类别。如果对象的集合是明确定义的，那么它被称为一个集合。

集合中的对象被称为集合的元素。集合可以有有限或无限的元素。回学校的路上，Nivy想再次确认之前制作的列表。这一次，她按照餐馆出现的顺序再次写下了列表。新列表如下：

现在，这是一个不同的列表。但它是一个不同的集合吗?答案是否定的。元素的顺序在集合中没有意义，所以它仍然是同一个集合。

四、集合的表示

集合可以以两种方式表示：

1. 列举形式或表格形式

2. 集合构造形式

五、列举形式

在列举形式中，列出集合的所有元素，用逗号分隔，并用大括号 { } 括起来。

例如，如果集合表示在1995年和2015年之间的所有闰年，那么它将用列举形式描述为：

A = {1996, 2000, 2004, 2008, 2012}

现括号内的元素按升序编写，也可以按降序或任意顺序编写。如前所述，对于列举形式表示的集合，顺序无关紧要。

此外，在表示集合时会忽略多重性。例如，如果L表示包含单词"ADDRESS"中的所有字母的集合，那么适当的列举形式表示将是：

L = {A, D, R, E, S} = {S, E, D, A, R}

L ≠ {A, D, D, R, E, S, S}

六、集合构造形式

在集合构造形式中，所有元素都具有共同的属性，这个属性不适用于不属于集合的对象。

例如，如果集合S包含所有偶素数，它可以表示为：

S = {x: x是偶素数}

其中，'x'是一个用于描述元素的符号表示。

“:” 表示“满足”

“{}” 表示“所有的集合”

因此，S = {x: x是偶素数}可读为“所有x的集合，其中x是偶素数”。该集合的列举形式为S = {2}。这种集合称为单元集或单元集。

另一个例子：

F = {p: p是两位数的完全平方数集}

F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}

我们可以看到，在上面的示例中，16是4的平方，25是5的平方，36是6的平方，49是7的平方，64是8的平方，81是9的平方。尽管4、9、121等也是完全平方数，但它们不是集合F的元素，因为它仅限于只有两位数的完全平方数。

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