什么是复分析?美国硕士听不懂课程怎么办?

复数分析是数学的经典分支之一，主要分析复数及其函数、极限、导数、操作和其他数学性质。复数分析是一种强有力的工具，在解决物理问题方面有着突飞猛进的实际应用。美国硕士听不懂课程怎么办?让我们在此逐一了解复数分析的各个组成部分。

一、复数

形式为 x + iy，其中 x、y 为实数，且 i² = -1，被称为复数。

换句话说，z = x + iy 是一个复数，其中 z 的实部为 x，表示为 Re(z)，虚部为 iy，表示为 I(z)。

二、复数的模和幅角

复数 z = x + iy 的模是实数 √(x² + y²)，表示为 |z|。

复数 z = x + iy 的幅角或参数由以下公式给出：

arg(z) = θ = tan⁻¹(y/x)，其中 x、y ≠ 0。

同时，当 arg(z) 满足不等式 -π < θ ≤ π 时，arg(z) 称为主要参数，表示为 Arg(z)。

三、复杂函数

在复分析中，复杂函数是从复数到复数的函数。或者，它是一个将复数的子集作为定义域，复数作为值域的函数。数学上，我们可以将复杂函数的定义表示为：

一个函数 f : C → C 被称为一个复杂函数，可以写成

w = f(z)，其中 z ∈ C，w ∈ Z。

同时，z = x + iy，w = u + iv，其中 u = u(x, y)，v = v(x, y)。这意味着 u 和 v 是 x 和 y 的函数。

四、复杂函数的极限

假设 w = f(z) 是 z 的任何函数，在有界闭区域 D 中定义。那么随着 z 接近 z0，f(z) 的极限用 “l” 表示，写作

lim z→z0 f(z) = l，

即对于每个 ϵ > 0，存在 δ > 0，使得当 |z - z0| < δ 时，|f(z) - l| < ϵ，其中 ϵ 和 δ 是任意小的正实数。这里，l 是 f(z) 在 z → z0 时的极限。

五、复杂函数的连续性

让我们了解复分析中的复杂函数连续性是什么。

一个在有界闭区域 D 中定义的复杂函数 w = f(z)，在点 Z0 处连续，如果 f(z0) 被定义

lim z→z0 f(z) 存在且

lim z→z0 f(z) = f(z0)。

六、复杂微分

复杂微分的一些标准结果列于下文：

dc/dz = 0;这里 c 是复常数

d/dz (f ± g) = (df/dz) ± (dg/dz)

d/dz [c.f(z)] = c . (df/dz)

d/dz zn = nzn-1

d/dz (f.g) = f (dg/dz) + g (df/dz)

d/dz (f/g) = [g (df/dz) - f (dg/dz)]/ g²

所有这些公式都用于解决复分析中的各种问题。

七、解析函数

如果一个函数 f(z) 在点 z0 处不仅在 z 处可导，而且在 z0 的某个邻域中的每一点也可导，则称函数 f(z) 在点 z0 处是解析的。解析函数也称为正则、全纯或单基函数。

八、谐函数

如果函数 u(x, y) 满足拉普拉斯方程，则称其为谐函数。另外，分析函数的实部和虚部也是谐函数。

九、复积分

假设 f(z) 是在域 D 中定义的复变量函数，而 "c" 是域 D 中的闭合曲线。

这里，z = x + iy

f(z) = u + iv，而 dz = dx + i dy

∫c f(z) dz = ∫c (u + iv) dz

= ∫c (u + iv) (dx + idy)

= ∫c (udx - vdy) +i ∫c (udy + vdx)

这里，∫c f(z) dz 称为曲线积分。

十、柯西积分定理

如果 f(z) 在一个单连通区域 R 中是解析函数，则对于包含在 R 中的每个闭合轮廓 c，有 ∫c f(z) dz = 0。

逆命题：

如果函数 f(z) 在整个简单连通区域 D 中连续，并且对于 D 中的每个闭合轮廓 c 都有 ∫c f

(z) dz = 0，则 f(z) 在 D 中是解析的。

诺藤教育专业课程辅导，2100+严选硕博学霸师资，针对学生的薄弱科目和学校教学进度，匹配背景相符的导师，根据学生情况进行1V1专属备课，上课时间灵活安排，中英双语详细讲解课程中的考点、 难点问题，并提供多方位的课后辅导，辅助学生掌握全部课程知识，补足短板。