美国大学多元(线性)回归：公式、示例和常见问题

回归分析等数学计算可以帮助您预测各行各业的未来结果。数据统计分析通常对旨在为各种可能性做好准备的企业和机构都有好处。多元回归是一种特定的统计技术，可以帮助人们了解一个因变量与两个或多个自变量之间的关系。

在本文中，我们将解释什么是多元回归，提供公式和示例，并讨论其应用和有关多元线性回归模型的常见问题。

一、什么是多元线性回归?

多元回归，也称为多元线性回归(MLR)，是一种统计技术，它使用两个或更多的解释性变量来预测响应变量的结果。它可以解释多个自变量与一个因变量之间的关系。这些自变量充当预测变量，而单一的因变量充当准则变量。您可以在各种情境、研究和学科中使用这种技术，包括计量经济学和金融推断等领域。

二、多元回归与线性回归的比较

这种回归分析形式扩展了线性回归，线性回归是最简单的回归形式。简单线性回归在一个自变量和一个因变量之间创建线性的数学关系，表示为 y = a + ßx，其中 y 只能根据变量 x 得出一个结果。例如，在方程式20 + 2x中，当 x = 5 时，y 只能为30。

三、多元线性回归公式

以下是多元线性回归的公式，它产生更具体的计算：

y = ß0 + ß1x1 + ß2x2 + ... + ßpxp

这个方程中的变量包括：

- y 是因变量的预测值或期望值。

- x1、x2 和 xp 是三个独立的或预测变量。

- ß0 是当所有自变量等于零时 y 的值。

- ß1、ß2 和 ßp 是估计的回归系数。每个回归系数表示相对于相应自变量的一单位变化对 y 的影响。

由于有多个变量，这个回归分析模型允许在预测结果和理解每个解释性变量对模型总方差的影响方面具有更多的方差和精确性。

四、多元回归的假设

在多元回归分析中，有一些假设需要满足才能使结果有效和可靠。这些假设包括：

1. 线性性

多元回归的一个最重要的假设是自变量和因变量之间存在线性关系。这意味着变量之间的关系预计是一条直线，而不是曲线或非线性的。如果关系不是线性的，回归分析的结果可能是不可靠的。

2. 独立性

另一个多元回归的假设是各观测值之间是相互独立的。这意味着自变量的值不会影响因变量的值。每个观测值都独立于其他所有观测值。

3. 同方差性

同方差性意味着误差的方差在自变量的各个水平上是恒定的。这个假设很重要，因为它确保模型的残差(即预测值与实际值之间的差异)具有相等的方差。当这个假设不成立时，模型会出现异方差性，这可能导致偏倚或效率低下的估计。

4. 正态性

回归模型的误差应当呈正态分布。正态性意味着误差围绕零值呈钟形曲线分布，大多数误差接近零。正态性很重要，因为它有助于确保回归分析的结果是可靠和无偏的。

5. 多重共线性

多重共线性发生在两个或更多自变量高度相关的情况下。这可能导致多元回归分析的问题，因为很难确定每个变量对因变量的独立影响。此外，多重共线性可能导致回归系数的不稳定性，使得难以解释分析的结果。

五、多元回归的示例

以下是一些您可能在职业生涯中使用多元线性回归分析的示例：

1. 房地产示例

您是一名房地产从业者，希望创建一个模型，以帮助预测出售房屋的最佳时间。您希望以最高的销售价格出售房屋，但多个因素可能影响销售价格。这些因素包括房屋的年龄、附近其他房屋的价值、关于学生表现的公立学校系统的定量测量以及附近公园的数量等。

您可以基于这四个独立变量构建一个预测模型，以预测房屋的最高销售价格。如果这些因素的系数值发生变化，您可以调整这些变量。

2. 商业示例

您拥有一家上市公司的股票，并想知道现在是否是卖出股票的好时机。许多变量可能影响股价的价值，包括公司的盈利能力、成本、竞争以及资产。您可以基于这四个独立变量构建一个预测模型，以帮助决定是立刻卖出股票还是继续持有股票。

3. 公共卫生示例

您是一名流行病学家，研究传染病的传播。您希望根据已知的感染情况来预测这种疾病的未来传播情况。多个独立变量可能影响未来感染的数量，包括人口规模、人口密度、空气温度、无症状携带者以及人群是否已经达到群体免疫。您可以在经验数据上进行统计建模和多元线性回归分析，以预测可能导致预测变量系数值变化的结果。

4. 体育示例

您是一名运动员，坚信自己在竞赛中有出色的表现和成功的能力。您认为自己在竞赛中表现更好是因为自信心很高。其他拥有类似心态的运动员也分享相同的信仰。多个独立变量可能影响运动表现，包括自信心、性别、年龄、经验以及在竞赛中愿意承担风险的意愿。研究人员可以进行更广泛的研究，以预测这些变量中的任何一个变化可能如何影响运动员的表现。

5. 医疗保健示例

您是一名生物统计学家，正在进行一项医学研究。您希望创建一种方法来预测儿童未来的身高。多个独立变量可能影响儿童的生长，包括环境因素和儿童的营养。您可以进行多元线性分析，以预测在这些变量系数值可能变化的情况下，儿童未来的身高。

六、解释多元线性回归结果

解释多元回归分析结果涉及了解系数、R-平方值以及模型和个别系数的显著性。以下是解释多元回归结果时需要考虑的一些关键要点：

1.系数

多元回归模型中的系数代表每个独立变量每增加一个单位时因变量的变化，同时保持其他变量不变。正系数表示独立变量与因变量之间存在正相关关系，负系数表示负相关关系。系数的大小反映了关系的强度。

2.R-平方

R-平方值衡量了模型中的独立变量解释因变量的变异性的程度。它的取值范围是0到1，数值越高表示拟合效果越好。高R-平方值并不一定意味着模型拟合得好，因为异常值或过度拟合可能影响它。

3.显著性

模型和个别系数的显著性是由它们的p值确定的。小于0.05的p值表示结果在统计上是显著的，意味着它不太可能是偶然发生的。重要的是要考虑效应大小和统计显著性。

4.置信区间

置信区间提供了一个范围，其中真实总体值有一定程度的信心会落在其中。较宽的置信区间表示估计存在更大的不确定性。

5.残差

残差是因变量的预测值与实际值之间的差异。残差应呈正态分布，且随机分布在零周围。如果残差呈现模式或不呈正态分布，可能表示模型不适合数据。

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